基础数学示例

$10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$

解题步骤 1

从 $10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 1.1

从 $10 p^{3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (2 p^{3}) - 25 p^{2} + 20$

解题步骤 1.2

从 $- 25 p^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 20$

解题步骤 1.3

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 5 (4)$

解题步骤 1.4

从 $5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2})$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$

解题步骤 1.5

从 $5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2} + 4)$

解题步骤 2

因数。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 2.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 4$

解题步骤 2.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

解题步骤 2.1.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - 5 \cdot 4 + 4$

解题步骤 2.1.3.5

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$16 - 20 + 4$

解题步骤 2.1.3.6

从 $16$ 中减去 $20$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $p - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 p^{3} - 5 p^{2} + 4}{p - 2}$

解题步骤 2.1.5

用 $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ 除以 $p - 2$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$p$

$2$

$2 p^{3}$

$5 p^{2}$

$0 p$

$4$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 p^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $p$ 。

					$2 p^{2}$
	$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			+	$2 p^{3}$	-	$4 p^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 p^{3} - 4 p^{2}$ 中的所有符号

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- p^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $p$ 。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					-	$p^{2}$	+	$2 p$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- p^{2} + 2 p$ 中的所有符号

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 p$ 除以除数中的最高阶项 $p$ 。

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							-	$2 p$	+	$4$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 p + 4$ 中的所有符号

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 p^{2} - p - 2$

解题步骤 2.1.6

将 $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ 书写为因数的集合。

$5 ((p - 2) (2 p^{2} - p - 2))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$5 (p - 2) (2 p^{2} - p - 2)$

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